תפיסת העולם המספרי מתמטי של אפלטון

detail-of-plato-and-arist-007

הקשר של אפלטון לפיתגורס

זיקתו של אפלטון למתמטיקה וההדגשה היתרה של היחסים המתמאטיים בהסבר העולם באו לאפלטון בירושה אינטלקטואלית מהאסכולה הפיתגוראית . את עיקר הירושה מגדיר וייטהד כך: פיתגורס היה הראשון שתפס את העיקרון המונח ביסודה של החשיבה המתמאטית האומר כי " מתוך מערכת נבחרת של תנאים כלליים המודגמים בתוך הזדמנות מסוימת  ניתן להסיק …ללא תיווך נוסף של הניסיון דפוס הגורר אחריו ריבוי אינסופי של תנאים כלליים אחרים המודגמים אף הם בתוך אותה הזדמנות …ע"י כך גילה את חשיבותה של הכלליות  בתוך השכילה ואת עצמתו של המספר כמכשיר לניסוח כל הצגה שהיא של התנאים הכלולים בסדר שבטבע.(1) פיתגורס הציג לדעת וייטהד בעיה פילוסופית : " מה מעמדם של ישויות מתמטיות כגון מספרים בעולם הדברים ? במובן מסוים הספר 2 הוא בלתי תלוי בזרם הזמן ובלתי תלוי בהכרח להיות מאותר במקום כל שהו.ובכל זאת הוא מעורב בעולם הממשי . אותם שיקולים חלים עם מושגים גיאומטרים. שיקולים אלה הביאו את פיתגורס לניסוח טענתו העיקרית שהורישה לאפלטון . מסקנתו של וייטהד היא שעולם האידאות האפלטוני הוא הצורה המעודנת והמתוקנת של המשנה הפיתגוראית שמספר מונח ביסוד העולם הממשי.( ראוי לציין כי וייטהד לא סבר כי שוררת התאמה מלאה בין המתמטיקה לתורת האידאות)

משל המערה:

חזון אפלטון בדבר מהותה האמיתית של המתמטיקה התייחס במישרין למשל המערה המפורסם שלו, (2) שבו הבהיר את תקפותו המפוקפקת של המידע המתקבל באמצעות חושי האדם. מה שאנו רואים כעולם הממשי, אמר אפלטון, אינו ממשי יותר מהצללים המוטלים על כתליה של מערה. לפי אפלטון אנו בני האדם  כלל, איננו שונים מהכלואים במערה הסבורים בשוגג כי הצללית הם המציאות . אפלטון מכוון לאמיתות המתמטיות שמתייחסות לא למעגלים , למשולשים ולריבועים שאפשר לשרטט, אלא לעצמים מופשטים המצויים בעולם אידיאלי (3) שבו שוכנות המושלמויות והצורות האמיתיות . העולם האפלטוני הזה של צורות מתמטיות נבדל מעולמינו הפיזי , ובעולם הזה אמיתיים הם משפטי המתמטיקה , כגון משפט פיתגורס . המשולש ישר הזווית שאנו משרטטים על נייר אינו אלא העתק לא מושלם –קרוב – של המשולש האמיתי, המופשט. אפלטון גם נגע בטיבה של ההוכחה המתמטית כתהליך המבוסס על הנחות מוצא ועל אקסיומות  כדוגמת האקסיומה הראשונה של הגיאומטריה האוקלידית ( "בין שתי נקודות כלשהן ניתן למתוח קו ישר") בפוליטיאה משלב אפלטון את מושג האקסיומות עם רעיונו בדבר עולם הצורות המתמטיות : " יודע אתה כמדומני, שהעוסקים בגיאומטריה וחשבון וכיו"ב..והריי אף זאת ידעת, שנוסף על כך הם משתמשים בצורות הנראות לעין ודנים על הללו, אך על פי שלא להם מתכוונים הם במחשבתם , אלא לאותם צורות שהללו נמשלות להן, שהרי תכלית דיונם אינה אלא הריבוע כשלעצמו , והאלכסון כשלעצמו , ולא זה שהם מציירים אותו ..הם תרים אחר אותן הצורות , שאיש לא יראה אותן אלא במחשבתו."

דעותיו של אפלטון הן הבסיס למה שקרוי בפילוסופיה בכלל ובדיונים על טיבה של המתמטיקה בפרט, בשם אפלטוניזם.(4) כאן גם נעוצה תרומתו ההיסטורית

במובנו הרחב ביתר, האפלטוניזם מביע אמונה בממשויות מסוימות, מופשטות, נצחיות וחסינות מפני שינוי, שאינן תלויות בעולם בין החלוף שאנו תופסים בחושינו . לפי אפלטון קיומם הממשי של עצמים מתמטיים הוא עובדה אובייקטיבית לא פחות מאשר קיומו של היקום עצמו. לא זו בלבד שהמספרים הטבעיים , המעגלים והריבועים קיימים , אלא קיימים גם מספרים מדומים , פונקציות , פרקטלים ועוד..ושפע משפטים העוסקים הישויות אלה. כל מושג מתמטי וכל פסוק המחונן "באמת אובייקטיבית " הם ישויות מוחלטות הקרויות אוניברסלים. אי אפשר ליצור אותם או להשמידם. קיומן אינו תלוי בידיעתינו אותם . עצמים אלה אינם פיזיים הם מהויות שמחוץ לזמן. בעיני אפלטון הדברים היחידים שיש להם קיום אמיתי ושלם הם הצורות והרעיונות המפשטים של המתמטיקה ורק באמצעותה אנו רוכשים ידע ודאי ואובייקטיבי לחלוטין. משום שכך , בחשיבתו של אפלטון המתמטיקה עומדת בזיקה הדוקה עם האלוהי. בטימאיוס האל הבורא משתמש במתמטיקה לעיצוב העולם. בפוליטאה , בקיאות במתמטיקה נחשבת לצעד חיוני בדרך לידיעת הצורות האלוהיות . אפלטון לא השתמש  במתמטיקה  לניסוח חוקי טבע שאפשר להעמידם למבחן הניסוי . מבחינתו צביונו המתמטי של העולם הוא פשוט פועל יוצא של העובדה" שאלוהים עוסק תמיד בגיאומטריה".

יותר מכל , יחסו של אפלטון לאסטרונומיה מעיד על נטיותיו  התאורטיות, שכן הוא סבור בטימאיוס שיש" להניח את הרקיע לנפשו " , לחדול מן הצפייה בכוכבים ובמסילותיהם ולהתרכז תחת זאת ברקיע המופשט של המתמטיקה . הכוכבים שאנו רואים , גורס אפלטון , אינם אלא בבואות של הרקיע הזה. כדרך שהשרטוטים הגיאומטרים מייצגים ישויות מפשטות כמו נקודה ישר ומעגל . בטימאיוס (5) מתאר אפלטון את מבנה החומר באמצעות חמשת הפאונים \גופים גיאומטרים\מרחביים משוכללים.(אותם כבר חקרו הפיתגוראים ותיאיטטוס התעמק בהם) חמשת הפיאונים (אוקטהדרון, איקוסהדרון, טטרהדרון, דודקהדרון והקוביה) מכיוון שכל הפיאות של 4 היסודות הארציים בנויים ממשולשים קיימת אפשרות מעבר מיסוד אחד לשני. המעבר מתבצע ע"י כך שהצורה הגיאומטרית (6) המתאימה ליסוד האחד מתפרקת למשולשים ואלה מתרכבים חזרה לצורה הגיאומטרית המתאימה ליסוד השני. על פי התפיסה האפלטונית , החומריות מקבל פשר בעזרת צורות גיאומטריות משוכללות הנגזרות מהבינה הצרופה . צורות אלה ניתנות לתרגום מספרי פשוט במונחים של מספרי הפאות, הצלעות והקודקודים של הגופים המרחביים המתאימים לאטומי היסודות. על פי המודל בטימאיוס תהליך הבריאה של החומר (7) הוא הטבעת  הצורות הגיאומטריות המשוכללות , המתאימות לארבעת היסודות ,שהן בבחינת אידיאות מתמטיות . הצורות האלה מקורן בבינה צרופה הן נצחיות והיו קיימות לפני הבריאה וקיימת אידיאה מיוחדת "הכורה" שאינה ניתנת לתפיסה ע"י השכל והיא מייצגת את המקום או החלל.במעבר מהצורות הגיאומטריות המשוכללות הניתנות לתיאור מלא ע"י מספרים , לייצוגן  הקונקרטי בחלל , העתקים שנוצרו מצורות אלה לא היו מדויקים לחלוטין. הכורה הכרחית אם כן לתהליך הבריאה אך היא מעכירה את האידיאות המושלמות . זאת הסיבה שיש יסוד של אי בהירות במציאות שנבראה שלא מאפשר הכרה אמיתית ומלאה שלה. כך למשל ל"ישר " או "לנקודה" מצוירים  יש תמיד שטח, ואפילו עובי אם נסתכל מבעד למיקרוסקופ למשל.

בעיני אפלטון התופעות המרכבות שאנו רואים ביקום אינן חשובות ממש , הדברים הבסיסיים  באמת הם הסימטריות שביסוד  התופעות , ואלה אינן משתנות לעולם . ראוי לציין שזו השקפה שעולה בקנה אחד עם החשיבה המודרנית על חוקי הטבע היות שהתיאוריות המודרניות , המבוססות על סימטריות ועל חוקי שימור הן אפלטוניות.

מתקיים  מימד לוגי אונטולוגי היות שהקו קודם לשטח , השטח קודם לגוף (8) זהו היחס בין הגופים הגיאומטרים לגופים הפיזיקליים. אותו מהלך מחשבה המוביל מן הקו לשטח מוביל מן הגוף המתמטי אל הגוף הפיזיקלי . בשניי המקרים קודם הראשון לאחרון, באשר הוא התנאי הלוגי אונטולוגי של האחר זוהי קפיצה מן המתימטי לפיזיקלי מן הלא מטריאלי אל המטריאלי אך לגבי אפלטון ההבדל בין הפיזיקה לגיאומטריה אינו רלוונטי היות שאפלטון שואל לתנאים לוגים אונטולוגים של העולם ומבחינה זו הגיאומטריה היא תנאי לפיזיקה דבר זה מוצג בספר השביעי של המדינה כאמור.

numbers

וייטהד ואפלטון:

ככל שוייטהד  רואה את אפלטון  קרוב לפיתגוראים  כך הוא רואה את תפיסתו רחוקה מזו של אריסטו. הוא רואה את אפלטון ברוחו הפיתגוראית קרוב לפיזיקה המודרנית  בניגוד לאריסטו. השוני הוא מתודי בעיקרו  אך יהיה בעל תוצאות  מרחיקות לכת לגבי הגישה הכללית בהסבר העולם.(9) הכלל המתודי של פיתגורס ואפלטון היה"מדוד" ואילו אצל אריסטו היה "מיין". כלל המדידה מתבסס על כלל עמוק יותר של האפשרות לבטא הבדלי איכות במונחים של כמות מספרית ואילו המיון בא להבליט את הבדלי האיכויות שאין להעמידם על שום דבר אחר. וייטהד סבור שכל הלוגיקה האריסטוטלית מכוונת לשמש כלי למימושו של הכלל הראשי של מיון ומשום  כך היא עיכבה את ההתקדמות של מדע הפיסיקה בימי הביניים." אילו היו האסכולאים מודדים במקום למיין , כמה יכלו ללמוד ! מיון הוא לדעת וייטהד " מחצית הדרך שבין הקונקרטיות הבלתי אמצעית של הדבר האינדיבידואלי לבין מופשטותם הגמורה של המושגים המתימאטיים. היחס בין איכות לכמות יתקשר פילוסופית למושגי היופי והטוב אצל אפלטון והללו יתקשרו להשגת הפרופורציות הנכונות אלו מצידן מבוססות על יחסים מתמטיים. יש אם כן קשר בין זיקתו של אפלטון לאספקט הכמותי , למדידה ולמספר בגלל השקפה רחבה יותר על המתמטיקה סבור ויייטהד . למשל תפיסת היופי היוונית שאפלטון דגל בה שמחברת בין ההיבט האיכותי והכמותי במבנה העולם. המתמטיקה אם כן לא עוסקת רק בכמויות ומספרים אלא גם בחקר דפוסיי קשרים ויחסים במופשט מן המתייחסים המיוחדים ומאופניי הקשר ביניהם. מבחינה זו מבוסס מושא חקירתה של המתמטיקה על עיקרון מטאפיזי האומר שהיחס והקשר הם ממהותה של כוליות הדברים והם הם המפתח האמיתי להבנת כוליות זו, כלומר היחסות חודרת את היקום ללא שיור.(10) בטימאיוס דן אפלטון "בבית הקיבול" כאחד היסודות האחרונים של עולמו הפיזיקלי. וייטהד סבור שהוא מעודן יותר ממושג החומר של אריסטו גלילאו וניוטון. הזמן-מרחב של הפיזיקה המתמאטית המודרנית הנתפס במופשט מן הנוסחאות המתימאטיות המיוחדות החלות על ההתרחשויות שבתוכו, לדעתו זהו כמעט בדיוק בית הקיבול של אפלטון. העולם המאתימטי האפלטוני הינו עולם נצחי , בלתי משתנה, שמעולם " נוצר "(11) אין בו "מפץ גדול". על פי המודל האפלטוני האל לא ברא את העולם "יש מאין" והיה מוגבל מאוד בביצוע תהליך הבריאה הן  ע"י האידאות  והן ע"י ה"כורה" בה הטביע אידיאות אלה. אריסטו(בספרו מטאפיזיקה) האמין בקיומן של ישויות  אך לא קיבל את תורת האידאות של אפלטון וסבר שיש להתחיל את חקירת ההוויה מעולם  התופעות המוכר ע"י תפיסה חושית ישירה. ורק מכאן לנסות להגיע לעקרונות המפשטים העומדים ביסודו של העולם שיש בכוחם להסביר את המציאות הנצפית. לגבי אריסטו המתמטיקה חוקרת את המציאות הפיזית באמצעות הפשטה מתוך אי התחשבות בחומר , בשינוי ובתנועה הקיימים בעולם. במילים אחרות המתמטיקה הינה אידיאליזציה של הטבע ובמובן זה תחום יישומה מוגבל וגם חשיבות מסקנותיה מגבלת.

האם יש למתמטיקה קיום שאינו תלוי בשום דרך בשכל האדם ?ובמילים אחרות , האם אנו רק מגלים אמיתות מתמטיות ? או שהמתמטיקה היא המצאה אנושית . אם יש קיום למתמטיקה באיזשהו מרחב מופשט  מהי הזיקה בינו לבין המציאות הפיזית ? כיצד זוכה מוח  האדם (שמגבלותיו ידועות לנו )בגישה לעולם חסין מפני שינוי  המצוי מחוץ למרחב ולזמן , ומצד שני אם המתמטיקה אינה אלא המצאה אנושית ואין לה קיום מחוץ לשכלנו , כיצד ניתן להסביר את העובדה שהמצאתן של אמיתות מתמטיות  כה רבות  הטרימה שאלות על הקוסמוס  ועל חיי האדם…הפילוסוף הילארי פטנם  נוקט עמדת ביניים הקרויה ריאליזם – זוהי עמדה המאמינה באובייקטיביות של השיח המתמטי ( כלומר פסוקים הם אמיתים או שקריים והסיבה לאמיתותם אן לשקריותם נמצאת מחוץ לאדם), אבל בניגוד לאפלטוניסטים – אינם רואים עצמם מחויבים לקיומם  של "עצמים מתמטיים".(12).

מבחינת אפלטון  המתמטיקה היא אוניברסאלית ומחוץ לזמן וקיומה הוא עובדה אובייקטיבית שאינה תלויה באדם. האדם מגלה את המתמטיקה כשם שמיכלאנגלו תאר את פסליו כקיימים בתוך השיש, וכל שמוטל עליו הוא לחשוף אותם. חיתוך הזהב , מספרי פיבונצ'י, הגיאומטריה האוקלידית  ומשוואות איינשטיין, כל אלה הם חלק מאותה  מציאות אפלטונית  הנשגבת מבינת האדם. המצדדים בתפיסה האפלטונית כמו הלוגיקאי קורט גדל שאמר על המושגים  המתמטיים "שהם מייצגים היבט של מציאות אוביקטיבית "(13). רוג'ר פנרוז הפיזיקאי מתמטיקאי המאמין כי משפטי  גדל מדברים  בתוקף רב בזכות עצם קיומו של עולם מתמטי אפלטוני בספרו צללי הנפש  הוא גורס " אמת מתמטית אינה נקבעת בשרירות לב , לפי חוקיה של איזו מערכת פורמאלית ' מעשה ידי אדם', אלא יש לה צביון מחלט . המתמטיקאי הארדי האמין כי תפקיד האדם הוא " לגלות " את המתמטיקה , זו מחכה לסייר שיגלה אותה..

על הבחירה באפלטון לעבודה זו:

ורנר הייזנברג  סבר (14) בהקשר לרקע הפילוסופי של התפתחות הפיזיקה המודרנית  מצוי רכיב אפלטוני שאפשר את תורת היחסות ותורת הקוונטים ולמרות האמפיריציזם , המטריאליזם והפוזיטיביזם, התמידה מגמה אפלטונית או פיתגוראית מסוימת מאז ימי גלילאי וניוטון שתרמה בסופו של דבר להבנות  היות שהן היחסות והן הקוונטים דרשו דרגה גבוהה של הפשטה של איפיון חלקיקים ע"י מספרים קוונטים ובאמצעות חיפוש אחר סימטריות יסודיות ולא אחר החלקיק עצמו. המרכיב האמפריציסטי מטריאליסטי שברקע הפילוסופי מעכב את ההתקדמות בפיסיקה של החלקיקים . נדרשות לדעת הייזנברג צורות מתמטיות להסתכלות במושגים הפיזיקליים ולכן גוברת החשיבות של הפשטות המתמטית מאשר לעקביות. כאן גם המקום לציין שיש המאשימים את ההידרדרות המקדמת של ההיסטוריה של המדע דווקא בגלל טענת אפלטון שלאמת מדעית ניתן להגיע באמצעות התבונה לבדה , תוך התעלמות מחלטת מתצפיות אמפיריות.

פרופ' מריו ליביו טוען בספרו חיתוך הזהב (2003) שאחד הפתרונות המוצעים לתעלומת עוצמתה של המתמטיקה בהסברת הטבע כרוך בהכנסת תיקון ברעיון האפלטוני :" תפיסת אפלטון המתוקנת " גורסת כי אם חוקי הפיזיקה ניתנים לניסוח כמשוואות מתמטיות , אם מבנה היקום הוא פרקטלי, אם הגלקסיות מסדרות את עצמן כלוליינים לוגריתמיים,- הריי זה מישום שהמתמטיקה היא שפתו של היקום וביתר פירוט תפיסה זו מניחה שיש לעצמים המתמטיים קיום אובייקטיבי שאינו תלוי כלל בשאלה  האם הם ידועים לנו או לא . מתמטיקאי בשם א. פיקובר ב-יבמ כתב בספרו (נול האלוהים) "אינני יודע עם אלוהים הוא מתמטיקאי , אבל המתמטיקה היא הנול שבו אורג אלוהים את מרקם  היקום.

מראה מקומות:

א.צ בראון , אפלטון בעיני ויטהד בתוך עיון רבעון פילוסופי עמ 223 .

  1. כתבי אפלטון, בתרגום ליבס ,משל המערה פוליטאה ז  שוקן ת"א 1979.
  2. מריו ליביו , האם אלוהים הוא מתמטיקאי  עמ 44  אריה ניר ת"א 2010.
  3. שם,45.
  4. כתביי אפלטון כרך שלישי דיאלוג הטימאיוס  בתרגום ליבס  שוקן ת"א 1979.
  5. יקיר שושני , חומר ורוח  , אוניברסיטה משודרת עמ 16-17 משהב"ט ת"א 2008.
  6. שם, ע"מ 208.
  7. ש.שקולניקוב , על משמעותה האפיסטמולוגית של תורת המספרים האידיאלים לאפלטון עמ 198 בתוך עיון רבעון פילוסופי כרך כ.
  8. א.צ בראון אפלטון בעיני וייטהד עמ 223 מאמר מתוך עיון רבעון פילוסופי .
  9. שם,עמ 224.
  10. ארנון עברון , משפטי גדל ובעיות היסוד של המתמטיקה , עמ 104 ת"א משהב"ט 1998.
  11. מריו ליביו, האם אלוהים הוא מתמטיקאי עמ 244 . אריה ניר ת"א 2010.
  12. מריו ליביו , חיתוך הזהב , עמ 255 אריה ניר ת"א  2003.
  13. ורנר הייזנברג , הרקע הפילוסופי של הפיזיקה המודרנית ,עמ 11.13 מתוך עיון רבעון פילוסופי כרך כ"ו תשלה.

מקורות נוספים וביבליוגרפיה:

  1. שבתאי אונגרו , מבוא לתולדות המתמטיקה כרכים א-ב  משהב"ט ת"א 1989.
  2. frege.g 1884. the foundation of arithmetic.2nd revised ed..1980,London:Blackwell.
  3. Russel.b.the analysisof mind .london,1949
  4. Russel.b, introduction to mathematical philosophy,London.1963.
  5. Penrose.R; shadows of the mind .oxford university press.1994.

 

 

מודעות פרסומת

להשאיר תגובה

הזינו את פרטיכם בטופס, או לחצו על אחד מהאייקונים כדי להשתמש בחשבון קיים:

הלוגו של WordPress.com

אתה מגיב באמצעות חשבון WordPress.com שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

תמונת Twitter

אתה מגיב באמצעות חשבון Twitter שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

תמונת Facebook

אתה מגיב באמצעות חשבון Facebook שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

תמונת גוגל פלוס

אתה מגיב באמצעות חשבון Google+ שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

מתחבר ל-%s