הקשר בין מספרים לתורת הקוונטים

ניתוח מאמר של ורנר הייזנברג ( מהאבות המייסדים של תורת הקוונטים)על החיבור הפילוסופי מתמטי בין אפלטון ופיתגורס לפיזיקה המודרנית.

סיכום ומיקוד הטענות והעמדה אותה מציג פרופסור הייזנברג

(את הרצאתו  בנושא הנדון נתן הייזנברג בחורף תשל"ה  במסגרת סמינריון בינלאומי שהוקדש לפילוסופיה של המדע והומניזם שנערך בדוברובניק ביוגוסלביה)

עיקר עניינו של הייזנברג הוא לא היחסים הקיימים בדרך כלל בין הפילוסופיה והפיזיקה אלא התפקיד  המיוחד שהרקע הפילוסופי ממלא בהנחיית המחקר בפיזיקה המודרנית, (הפיזיקה של החלקיקים האלמנטארים) ובדרכים שבהן הוא מתנהל בפועל (1) מצד שני, הרקע הפילוסופי משפיע על חשיבתנו – ביודעין או שלא ביודעין –נקבע ע"י תגובתנו לשאלות ישנות מאוד, שאלות שכבר נוסחו ע"י הפילוסופים היוונים הקדמונים. לפיכך סבור הייזנברג שהמבט במקורם של המדע והפילוסופיה מיוון העתיקה (שם הופיעו בעיות אלה לראשונה בעיסוק המדעי)  רלוונטי היות שעדיין יש בהן עניין למדע בזמננו. והמשכו של המבט בהתפתחות במרוצת ההיסטוריה, ובמיוחד בתקופה שמאז קופרניקוס, גאלילי וניוטון, ועד לתורת הקוונטים. בחלקו השלישי של המאמר יתייחס הייזנברג בהקשר לעבודותיהם של פלאנק, איינשטיין ובוהר, ושל המחקר העכשווי בפיסיקה של החלקיקים האלמנטאריים בזיקה לרקע הפילוסופי שלהם.

תחילתה של הפילוסופיה היוונית הקדומה בחיפוש אחר העיקרון המאחד במגוון האינסופי של התופעות בעולם (2). עיקרון שיהיה בו משום בסיס להבנתו של המגוון. עיקרון זה נתפס בראשונה כדבר מה חומרי: תאלס ראה את החומר היסודי במים , הרקליטוס באש , אבל הצעד  המכריע לקראת כינונו של מדע  במובנה של מילה זו בפינו , נעשה ע"י פיתגורס ותלמידיו, שראו בצורה המתמטית , בחוק הטבע את העיקרון המאחד. הפיתגוראים חקרו את הצלילים  של שני מיתרים משתלבים בצליל הרמוני משותף , בשעה שיחסי אורכיהם של מיתרים בעלי מתח שווה מתאימים ליחסיהם של מספרים שלמים קטנים. אריסטו מספר במטפיסיקה  שהפיתגוראים  שהיו הראשונים שעסקו במתמטיקה, לא זו בלבד שקידמו תחום זה  גם החזיקו בדעה שעקרונותיה הם עקרונות הדברים כולם….

הפיתגוראים ראו שתכונותיה ויחסיה של ההרמוניה המוסיקלית ניתנים לביטוי במספרים: וכן,  הואיל וכל יתר הדברים נראו לפי טיבעם הכולל כמעוצבים לפי דוגמת המספרים, ונדמה היה שמספרים הם הדברים הראשונים בטבע כולו , הניחו שיסודות המספרים הם יסודות כל הדברים(שם), ושהשמים כולם הם הרמוניה מוסיקלית ומספר.

מאוחר יותר נקט אפלטון דרך חשיבה זו , שתרמה תפקיד מהותי בעיצוב תורת האידיאות שלו . המגוון האינסופי של התופעות ניתן להבנה , לפי פיתגורס ואפלטון , מפני-ובמידה-שביסודו  מונחים עקרונות צורה מאחדים הניתנים להצגה מתמטית . פוסטולאט זה מטרים למעשה, את כל התכנים של המדעים המדויקים בזמננו. הייזנברג מציין כמובן שתכנית כזאת לא הייתה ניתנת למימוש בעת העתיקה הואיל והידיעה האמפירית של פרטי התהליכים הטבעיים לקתה בחסר רב.

הניסיון  הראשון לחקור פרטים אלה נעשה ע"י אריסטו אך מפאת המגוון העצום  המופיע לחוקר הטבע ובשל העדר מוחלט של נקודת מבט שמימנה ניתן לעמוד על סדר כלשהו (שם,עמ 2) , נאלצו עקרונות הצורה המאחדים , שאותם חיפשו פיתגורס ואפלטון, לפנות את מקומם לתיאור של פרטים. הייזנברג ממקד נקודת מבט זו כהתחלת העימות (שם,עמ 3) הנמשך עד עצם היום במחלוקת שבין פיסיקאים נסיוניים  ועיוניים., למשל הקונפליקט בין האמפריציסט – שמתוך חקירה מפורטת , קפדנית, מספק לראשונה את ההנחות המקדמות להבנתו של הטבע , לבין התיאורטיקן –היוצר תמונות מתמטיות שבאמצעותן הוא מבקש להשליט סדר בטבע ובכך להבינו. תמונות מתמטיות אלה מבוססות תכופות על מושגים חדשים המתגלים לא רק בשל תיאורם הנכון את הניסיון אלא גם בשל פשטותם ויופיים – כאידאות האמיתיות  המונחות ביסוד מהלכו של הטבע.

אריסטו בהיותו אמפריציסט, ביקר את הפיתגוראים  שלדבריו אינם מחפשים תיאוריות וסיבות על מנת להסביר עובדות הנראות בהסתכלות , אלא כופים את  מבטם ומנסים להתאימו לתיאוריות וסברות שלהם עצמם. זוהי נקודה מרכזית לגבי הייזנברג היות שנוגעת בשאלה המרכזית בה דן במאמר : האם די בחקירה קפדנית  ודקדקנית של הפרטים ואיסופם של נתונים אמפיריים כדי להביאנו אל אותם מושגים שבסופו של דבר מספקים את הבסיס להבנת התופעות ? או אולי אידיאליזציה  מסוימת של התופעות , יחד עם הכוונה להתאים אליהן צורות מתמטיות  ועם השאיפה לפשטות , הן תנאי הכרחי למציאת המושגים הנכונים? הייזנברג סבור (שם) שהשאיפה לפשטות, והאמונה בקיומן של צורות מתמטיות המציגות את הטבע , ממלאת תפקיד מכריע בהתפתחותו  של המדע.

במבט אסטרונומי היסטורי פיתח האסטרונום והמתמטיקאי היווני אריסטרכוס שחיי במאה ה-3 לפני הספירה, את השיטה ההליוצנטרית בה השמש במרכז העולם ללא תנועה והארץ נעה סביב השמש וסובבת על צירה כמו יתר הכוכבים. אריסטרכוס אם כן קדם בהנחה וחישוב זה לקופרניקוס. הסיבה שהביאה את אריסטרכוס להציב את השמש במרכז העולם שלו ולהניע את הארץ  בניגוד לניסיון הבלתי אמצעי  הוא בגלל הדגש על "פשטות מתמטית". (שם,4)  מן הראוי מדגיש הייזנברג שנשאל כיצד קרה שהתיאוריה הנכונה נזנחה  ובמקומה באה תיאוריה מוטעית  שראו בה את הבסיס לאסטרונומיה במשך 1800 שנה…. הייזנברג טוען שהרקע הפילוסופי הוא שהשתנה מימיו של אריסטרכוס לזמנם של היפארכוס ותלמי . אריסטרכוס היה היה קשור עדיין למסורת  של פיתגורס ואפלטון . כוונתו היתה בדברי הביקורת על אריסטו-ליטול חלק , באמצעות רעיונותיו בארגונו של העולם. הוא רצה לנחש מהי התכנית שלפיה נברא העולם . המערכת ההליוצנטרית הורתה על תכנית פשוטה , ולכן ייחס משקל רב יותר לנימוק זה של פשטות מאשר לנימוקים אחרים. היפארכוס ותלמי , מצידם , לא רצו אלא לצפות ולתאר ולהחיל את האסטרונומיה באופן מעשי לספנות לניווט ולחישובי ליקויי המאורות וכיו"ב. ציוד התצפית מוצב על האדמה ומכאן קל גם כנראה להניח שהאדמה שרויה במנוחה במרכז. הייזנברג  סבור שתלמי לא הבין את תנועת כוכבי הלכת , ואילו ניוטון הבינה (שם,5) . בתיאור הפנומנולוגיה הטהור של התופעות  צפונה הסכנה שינציח דעות קדומות משכבר ויחמיץ את המושגים החדשים המכריעים. הנקודה זו אפשר לראות מה עצומה חשיבותו של הרקע הפילוסופי במחקר. אין הוא קובע מה  הן התשובות משנשאלו השאלות , ואולם הוא משפיע על השאלות. תוצאות מחקר מדעי עשויות להיות שונות  מאוד בשעה שמנסים לגלות את התכנית שלפיה הטבע בנוי , או שמעוניינים אך ורק בהסתכלות , בתיאור  ובחיזוי התופעות . ההבנה הסופית עשויה להיות תלויה בהחלטה זו.

בראשית המאה ה-16 גילה קופרניקוס מחדש את המערכת ההליוצנטרית ואת פשטותה המתמטית. הרקע הפילוסופי הונח בעבודתו של גלילאי (שם,5) . אריסטו קבע שגופים קלים נופלים לאט יותר מגופים כבדים, ובאופן ניסיוני אמנם כך היה. גלילאי מצא שתנועה אידיאלית בחלל הריק ניתנת להצגה בצורות מתמטיות פשוטות ובכך הבקיע דרך בכך שבודד את החלק החשוב של התופעות מהשפעות מפריעות. על התיאורטיקן לנסות למצוא צורות מתמטיות העשויות להציג את התופעות בצורתם האידיאלית . גם אם הללו אינן מספיקות להבנה מממשית אך יכולות להוביל (שם,6) לאותם מושגים חדשים שיתנו בסיס להבנה . במקרה של גלילאי המושגים היו אינרציה וכוח. בלי כוח חיצוני היה כל גוף נע בקו ישר ובמהירות קבועה. לכן על מנת להבין את התנועות יש לחקור את הכוחות. ניוטון בפרינקיפיה ( העקרונות המתמטיים של פילוסופיית הטבע) קשר את המושגים היסודיים דוגמת מאסה, מהירות , תאוצה וכוח בעזרת מערכת אקסיומות. הצלחת המכאניקה של ניוטון תרמה להתנהלות המדע בשתי דרכים שהבקיע גלילאי:

א: בידוד התופעות ואידיאליזציה שלהם ע"י הגדרה קפדנית של התנאים הניסיוניים ובאמצעות מדידות מדויקות יותר.

ב: המצאת צורות מתמטיות המציגות את התופעות בצורתן האידיאלית. הצורות המתמטיות עשויות להוביל להבנה אמיתית רק לאחר שנמצאו והוחלו במושגים הנכונים, ונקודה זו לפעמים הוזנחה.

המאה ה-19 כבר עסקה בתופעות החום והחשמל. המושגים החדשים היו שונים מאלה שהיוו את הבסיס למכאניקה הניוטונית.  נראה היה שהמושגים הניוטונים לא יספיקו לתופעות של האלקטרומגנטיות (שם,7) הכנסת מושג השדה הייתה צעד מכריע לקראת הבנתן האמיתית של התופעות. קודם היה הכוח שיוחס לגופים , עכשוו נעשה למציאות פיסיקאלית בלתי תלויה . כשניסח מאקסוול את החוקים המתמטיים (שם,8) להשתנויותיהם של שדות אלקטרומגנטיים בחלל ובזמן, אי אפשר היה להטיל ספק בכך שההסתכלויות הוצגו בצורה נכונה.

הייזנברג סבור שבנקודה זו (שם,8) חשוב לדון שוב ברקע הפילוסופי . עלינו לזכור שביוון העתיקה התיזה של פיתגורס ואפלטון , שלפיה מאחוריי מגוון התופעות ישנו עיקרון צורני מאחד , לא נותרה ללא מתנגדים . לויקיפוס ודמוקריטוס ראו את העיקרון המאחד לא בצורה אלא בקיומם של האטומים, והאטום הוא היש האחרון. אפלטון התנגד לדמוקריטוס וסבר שחלוקתו החוזרת ונשנית של החומר תביא בסופו של דבר אל הצורה המתמטית , הגופים  המשוכללים והמשולשים המרכיבים אותם. (היסודות אש אויר מים ואדמה). אם זאת שמר המטריאליזם של דמוקריטוס על כוח שכנוע ניכר. והאטום היה נציגו הפשוט של היש . לכן הושבה פילוסופיה מטריאליסטית  זו לתחייה  במאה ה-17 ע"י גאסנדי. היה בה משום הסבר פשוט לצורות השונות של החומר ובמאה ה-18 היא שימשה בסיס מוצק לכימיה המדעית החדשה.  אפשר היה לקשרה למכאניקה של ניוטון ע"י ההנחה שתנועת אטומים מתנהלת לפי חוקיה של זו. לפיכך פילוסופיה מטריאליסטית זאת שמשה כרקע פילוסופי של אנשי מדע רבים במאה ה-19 וככל הנראה הייתה מכשול שמנע מן הפיסיקאים לקבל את מושג השדה כמציאות בלתי תלויה בחלל ובזמן.(שם,9).

השינוי הגדול התחולל במסגרת תורת היחסות . איינשטיין גילה את הפשטות הרבה המתקבלת כשמזהים את המשתנים בטרנספורמציות של לורנץ  לקואורדינאטות של החלל והזמן הממשיות, וכשמניחים בעקבות זאת שכל חוקי הטבע הם  בלתי משתנים  במסגרת טרנספורמציות אלה . שוב התברר שמאחוריי המגוון האינסופי של התופעות ישנו עיקרון אחדותי של צורה- במקרה זה חבורה מתמטית פשוטה – ממש כפי שקיוו פיתגורס ואפלטון. לא היה פשוט טוען הייזנברג לקבל זאת בגלל צירופן של המכאניקה של ניוטון והפילוסופיה המטריאליסטית של דמוקריטוס וגאסנדי  שיצרו במשך 200 שנה מסגרת מושגית חמורה ברקע הפילוסופי של המחקר בפיסיקה של המאה ה-19. קיומו של זמן מוחלט בלתי תלוי בחלל היה מעיקריה של מסגרת מושגית זאת ועל מנת לזנוח זאת נדרש מאמץ גדול.

את השינוי המכריע ביותר ברקע המושגי חוללה תורת הקוונטים . במקרה של היחסות איינשטיין הבין (שם,11) עד כמה פשוטים נעשים היחסים שבין התופעות השונות באלקטרודינמיקה, כשמזהים את המשתנים בטרנספורמציות  לורנץ עם קואורדינאטות החלל והזמן הממשיות . בתורת הקוונטים  התגלתה סכימה מתמטית גמישה מאוד המכילה הן את ההיבט החלקיקי והן את ההיבט הגלי של התופעות. לגבי הייזנברג עם שבים לרקע הפילוסופי שבו התרחשה התפתחות זאת נראה שיהיה עלינו לומר כי המרכיב האפלטוני של הרקע שהוסיף להתקיים הוא שאפשר את תורת היחסות ואת תורת הקוונטים. למרות האמפיריציזם , המטריאליזם והפוזיטיביזם ,התמידה מגמה אפלטונית או פיתגוראית מסויימת מאז ימיי גלילאי וניוטון, מגמה זו היא שהביאה בסופו של דבר להבנה. לכאורה היחסות והקוונטים היו אמורים לחזק את המימד האפלטוני ברקע הפילוסופי בדרך של היזון חוזר, ובכל זאת השפעה זו מועטת לדעת הייזנברג כנראה בגלל שהיחסות ותורת הקוונטים עוסקות בניסיון שהוא רחוק מידי מחיי היום יום , הבנתן מצריכה דרגה גבוהה של הפשטה ולכן מספר מועט של  אנשי מדע מכירים בכך. זאת הסיבה שמושג המציאות שצמח מפרשנות קופנהאגן לתורת הקוונטים התקבל ע"י מעטים בלבד. הפרשנות הפוזיטיביסטית, מטריאליסטית ואמפריציסטית בעינה עומדת מחוץ לפיסיקה (שם,12).

ואטסון וקריק גילו בשנת 1953 את הסליל הכפול , גילוי שמקפל בתוכו עיקרון אחדותי בעל כוח עצום, המדגיש ללא ספק את היסוד האפלטוני בפילוסופית הטבע במודרנית.

בפורמאליזם המתמטי של מיכאניקת הקוונטים לא ניתן היה לשנות את מספרם של האלקטרונים או הפרוטונים של מערכת נתונה. דומה היה שחלקיקים אלה הם יחידות בלתי משתנות של החומר הניתנות להשוואה לאטומים בפילוסופיה המטריאליסטית הקדומה של דמוקריטוס. דומה שאלה האובייקטים האלמנטאריים "הקיימים באמת" ושמהם מרכבים כל יתר האובייקטים הקיימים. אלא שפירוש  כזה לא יתכן שיהיה נכון לאחר תגליתו של דיראק ( שחזה את קיומם של הפוזיטרונים ואומת ברעיון האנטי חומר באופן ניסיוני) תגלית זו חוללה שינוי יסודי בפירוש הפילוסופי של הפיסיקה האטומית. את החלקיקים אפשר ליצור ולהשמיד , הם ניתנים להמרה באחרים, ההבחנה בין חלקיקים אלמנטאריים לבין מערכת מורכבת נעלמה. חשוב אם כן להבין שבכך נהרס כל הבסיס למטריאליזם האטומיסטי במובן של דמוקריטוס. עצם מושג החלוקה מאבד את מובנו. זאת מפני שתהליך החלוקה מצריך אנרגיה, וכשזו גבוהה דיה, התוצאה יכולה להתפרש כיצירתם של חלקיקים חדשים מתוך אנרגיה, במקום חלוקת החומר המקורית , המרת אנרגיה בחומר ולהיפך,היא תוצאה חשובה של תורת היחסות המיוחדת . אפשר להבין את עולם החלקיקים האלמנטאריים  רק אם מביאים בחשבון תכונה זו של הטבע במלואה. משאיבדו החלקיקים את משמעותם היסודית כיחידות קטנות ביותר של החומר והניסויים (שם,13) של עשרות השנים האחרונות מוכיחים בבירור מוחלט שיש להשוות את החלקיקים למצבים העמידים במכאניקת הקוונטים המוקדמת. והם אמנם מצבים עמידים , הם ניתנים לאפיון ע"י מספרים קוואנטים. הייזנברג גורס שבכדי למצוא דרך להבנה אמיתית של הספקטרום של החלקיקים, נדרשות הסימטריות היסודיות ולא החלקיקים היסודיים. זוהי הצגה של חבורות יסודיות  כלומר הגדרת תכונת אי ההשתנות של חוק הטבע שביסוד. האמפריציסט חושב שבאיסוף עוד ועוד נתונים יעלו המושגים הנכונים מעצמם. במקרה של תורת היחסות ותורת הקוונטים תקווה זו לגבי הייזנברג היא אשליה בפיסיקה של החלקיקים. לדוגמא מציג הייזנברג (שם) את החיפוש אחר הקווארק כחלקיק היפותטי שלא אובחן מעולם והפיסיקאים מניחים שהקוארקים אינם קיימים כאובייקטים ממשיים , הם נתפסים כאובייקטים מתמטיים אפשריים בתוכם של החלקיקים. הייזנברג סבור(שם,14) שהסכנה בגישה האמפריציסטית טמונה בשביעות הרצון העשויה לנבוע מהצגה מתמטית נאותה של התופעות המתגלות בהסתכלות . שביעות רצון שכזו עלולה למנוע מהפיסיקאי לשאול את השאלה היחידה שיש בה להוביל להבנה אמיתית והיא: מהו העיקרון האחדותי מאחוריי המגוון של התופעות , מהי התכנית שלפיה בנוי הטבע? המרכיב אם כן האמפריציסטי מטריאליסטי שברגע הפילוסופי מעכב את ההתקדמות בפיסיקה של החלקיקים. המרכיב הפוזיטיביסטי פועל לטובת סכימות מתמטיות  חמורות כנגד התאמתן הזהירה של צורות מתמטיות פחות או יותר לא מוגדרות לתמונה הכללית של ההסתכלות. מבחינה זו דומה שבמושגים הפיסיקאליים ישנה חשיבות רבה יותר לפשטות מתמטית מאשר לעקביות. אך יש לקחת בחשבון ,שהמתמטיקאי  אולי טרם פיתח סכימה מתמטית העשויה להציג  בסופו של דבר את העיקרון האחדותי הפשוט שמאחוריי מגוון התופעות. הייזנברג אם כן חושש שהרקע הפילוסופי המושל בכיפה מקשה על ההתקדמות בפיסיקה של החלקיקים בדומה למצב האסטרונומיה בתקופה שלאחר אריסטראכוס  כשהמרכיב האפלטוני או הפיתגוראי ברקע הפילוסופי נחלש כל כך עד שרעיון ההליוצנטריות נשכח.

 חלק שני: התייחסות והערות לתפיסתו וגישתו של הייזנברג.

בשנים 1925-6 הופיעו ניסוחים חדשים של תורת הקוונטים , הנקראים "תורת הקוונטים החדשה" ניסוחים אלה הידועים כמכניקת המטריצות של הייזנברג ומכניקת הגלים של שרדינגר המבוטאים בשפות מתמטיות שונות ,אך שקולות זו לזו (2) על פי הן מקובלת היום מכניקת הקוונטים. הייזנברג ניסה למצוא תיאור של האטום  שיהיה מבוסס על עקרונות חדשים . כאשר האלקטרון "קופץ"ממסלול למסלול אך מצריך ויתור על תיאור מפורט של תנועתו במרחב ובזמן. אופן חשיבה שכזה כמו קושי למדוד את תנועת האלקטרון בתוך האטום בגלל גסות מכשיר המדידה  מביא מכאן שהתיאוריה הפיזיקלית צריכה להתרכז  רק בתיאור התופעות הנמדדות , ולא לנסות לתאר באופן מפורט את המציאות הפיזיקלית  המסתתרת מאחוריהן. הייזנברג  מצא כאן קירבה למהלך המחשבתי שעליו מבוססת תורת היחסות הפרטית של  איינשטיין. בתורת היחסות , איינשטיין ויתר על מושגי המרחב והזמן המוחלטים , שבלאו הכי אינם ניתנים למדידה ישירה , ובמקום זאת הוא זיהה את המרחב והזמן עם מדידות שאפשר לבצע באמצעות סרגלים ושעונים. על פי הייזנברג פירוש הדבר הוא שהתיאוריה של איינשטיין עוסקת רק בתופעות הנמדדות, ולא במציאות פיזיקלית יסודית שאי אפשר למדוד אותה.

דעתו של איינשטיין עצמו בעניין זה הייתה שונה , הוא לא חשב שתורת הקוונטים מקיימת את העקרונות המחשבתיים שתורת היחסות מבוססת עליהם. זה התברר להייזנברג רק מאוחר יותר .איינשטיין סבר שאנו רשאים להאמין שהטבע הוא המימוש של המתמטיקה הפשוטה ביותר שניתן להעלות על הדעת." אני משוכנע שבאמצעות מבנה מתמטי טהור נוכל למצוא את אותם מושגים ואת אותם חוקים המקשרים ביניהם שיספקו את המפתח להבנת תופעות הטבע .ניתן ללא ספק להתקרב אל המושגים המתמטיים המתאימים באמצעות הניסיון, אך בשום פנים אי אפשר להסיקם מימנו.כמובן, הניסיון נשאר קנה המידה היחיד לשימושיותו של מבנה מתמטי בשביל הפיזיקה. אך העיקרון היצירתי האמיתי טמון במתמטיקה. אם כן במובן מסוים נכון הדבר בעיניי שהחשיבה הטהורה יכולה לתפוס את הממשות, כפי שחלמו הקדמונים . (איינשטיין, רעיונות ודעות, 164.) הייזנברג נטש את השאלה מהו מסלול תנועתו המדויק של האלקטרון באטום, ובמקום זאת החל לחפש משוואות שיפיקו את הגדלים הנמדדים בתצפית , שהם תדירויות האור הנפלט מן האטום ותכונותיו של האור הזה. במודל האטום של בוהר , האור נפלט במעבר בין מסלולים שונים של האלקטרון באטום. הייזנברג היה מוכן לוותר על תיאור מפורט של המסלולים האלה, אך הוא עדיין היה חייב להניח שיש לאלקטרון באטום " מצבי אנרגיה" בדידים, כלומר קיימת איזושהי סדרה של מצבים שהאלקטרון יכול להימצא רק בהם, ושלכל אחד מהם יש אנרגיה מוגדרת. הפרש האנרגיות בין שני מצבים אלה שווה לאנרגיה שהאלקטרון פולט כשהוא עובר ממצב אחד לאחר. האנרגיה הזאת קשורה לתדירות האור הנפלט על פי נוסחת  פלנק. (בן דב ,61). מכיוון שמושג המסלול הוא מיותר ורק האנרגיה שלו היא חשובה, במקום לומר מסלול מספר n   אפשר לומר רק "מצב האנרגיה מספרn ומה שהיזנברג חיפש היה ביטוי מתמטי שיאפשר לחזות את תכונות האור הנפלט , למשל , במעבר ממצב  אנרגיה n  למצב אנרגיה m, כאשר n  ו m הם שני מספרים שלמים כלשהם. הביטוי המתמטי הזה (שם ,62) אמור להחליף את " הקפיצה הקוונטית " בין המסלולים n  ו m במודל של בוהר. המערכת הזו אפשרה לנסח את הבעיה במונחים של מבנה מתמטי מוגדר. בעזרתו של מקס בורן  ותורת המטריצות  התוצר הסופי היה מערכת משוואות שנקראה בשם מכניקת המטריצות.(שם,63) . מטריצה המתארת את " מיקום האלקטרון" ומטריצה אחרת המתארת את "התנע של האלקטרון".  המשוואות  שהמטריצות האלה הופיעו בהן לא היו אלא כללים מתמטיים מפשטים. מהי משמעותם הפיזיקלית של כללים אלה? מהי משמעות העובדה  שגודל פיזיקלי כמו מקום האלקטרון מיוצג לא ע"י מספר מוגדר בכל רגע, אלא ע"י מערך ריבועי של מספרים? איזה מבין המספרים האלה, אם בכלל , מייצג את " מיקומו האמיתי" של האלקטרון? על שאלות כאלה לא הייתה להייזנברג תשובה. התיאוריה של הייזנברג ייצגה אבדן של תכונת הויזואליות , ויתור על הויזואליות  כלומר על תמונה מרחבית של מסלול האלקטרון , אך כיצד אפשר להשתמש במושג כמו מקום בלי לתת לו משמעות במונחים של תמונה מרחבית? מאוחר יותר שרדינגר הציג מידה מסוימת של ויזואליות ע"י תרגום המונחים החלקיקיים למונחים גליים ,לדוגמה את הביטוי המתמטי (שם,64) המתייחס לתנע של האלקטרון , כלומר למסה כפול המהירות שלו . שרדינגר הראה שמכניקת המטריצות של הייזנברג ומכניקת הגלים שלו מבחינה מתמטית שקולות, ומהוות שני ניסוחים לאותה תיאוריה המבוטאת בשפות מתימטיות שונות. התיאוריה הזאת היא " תורת הקוונטים החדשה". כדי לציין שמדבר בישות מתמטית , שהמשמעות הפיזיקלית שלה אינה ברורה, מציינים פיתרון של המשוואה של שרדינגר במונח  פונקציית הגל שהיא הפיתרון המתמטי של משוואת שרדינגר והערכים שלה. הייזנברג לא אהב את מכניקת הגלים היות שלא ראה מדוע לאחר שהפיזיקה השתחררה מהמחויבות המיותרת לתמונות מרחביות של תנועת האלקטרון באטום, יש צורך לשוב ולהעמיס עליה ציורים של מבנה אטומים במונחי עננים מסתוריים.(שם,65). הייזנברג סבר שתורת הקוונטים החדשה איננה מקיימת את תכונת הסיבתיות הקלסית . כזכור הוא ויתר על תיאור ויזואלי של תנועת האלקטרון , כלומר על תשובה ברורה לשאלה איפה האלקטרון באמת נמצא בכל רגע. הויתור על תיאור מפורט של מסלולים אלה היה חלק מהותי של מכניקת המטריצות . בהתאם למושגים הפיזיקלים היסודיים (שם, 72) של המכניקה הקלסית, תיאור מפורט של מסלול האלקטרון במרחב ובזמן , פירושו שיודעים בכל רגע גם את מיקומו של האלקטרון וגם את מהירותו . בניסוח של הייזנברג , גם המקום וגם התנע של האלקטרון (כלומר המהירות כפול המסה שלו) מיוצגים באמצעות מטריצות התאימות . אולם פעולת הכפל בין המטריצה של המקום והמטריצה של התנע איננה חילופית: המכפלה של מטריצת המקום במטריצת התנע היא שונה מהמכפלה של מטריצת התנע במטריצת המקום. במילים אחרות מעצם המבנה המתמטי של מכניקת המטריצות , נובע שהיא איננה יכולה לייחס באותו זמן ערכים מספריים מדוייקים גם למקום של האלקטרון וגם לתנע שלו. הייזנברג מצדיק את גישתו באמצעות המימד האיינשטייני של תורת היחסות הפרטית (בן דב ,פיזיקה תורות ומושגים ,130) שבה תופסות מדידות בסרגלים ובשעונים את מיקומם של המרחב והזמן המפשטים. מימד\עיקרון אי הודאות חשוב ביותר כאן היות שתורת הקוונטים איננה מסוגלת לתת חיזוי מדויק של מצב פיזיקלי עתידי אלא ממירה זאת בחיזויים סטטיסטיים, סיכויים והסתברות.( לכך יכולות להיות השלכות פילוסופיות בסוגיית דטרמיניזם וחופש עם פעולת המדידה יוצרת שינוי במיקומו של החלקיק לאי הודאות של הייזנברג יש השלכות לגבי חוסר יכולת לקבוע סיבתיות בקוונטים מה שמייצר מגבלת חיזויובכך מכניקת הקוונטים מתנערת מסיבתיות נוקשה ומדטרמיניזם צר ) היחסים בין אי ודאות של מקום לאי ודאות של התנע , ובין אי הודאות של הזמן לאי הודאות של האנרגיה –נקראים יחסי אי הודאות של הייזנברג. לפי הייזנברג לאלקטרון יש "באמת" מסלול תנועה מדויק במרחב ובזמן אבל אי אפשר באמצעות מדידות למצוא את המסלול הזה. זהו סוג של פיצול בין המימד האונטולוגי  הקשור בטבע ובמציאות למימד האפיסטמולוגי הקשור בטבע הידיעה האנושית . פעולת המדידה  אכן גורמת להפרעה במצבו של החלקיק הנמדד, זוהי הסיבה לקיומם של יחסי אי הודאות הקוונטים. פונקצית הגל קובעת את ההסתברות למציאת האלקטרון.

הייזנברג שונה משרדינגר, במקום לדבר על פונקצית גל , ניסה לחשוב על חלקיק ניוטוני שיש לו מקום ותנע מגדרים ולראות באיזה מידה של דיוק אנו יכולים למדוד גדלים אלה אם ניקח בחשבון את הנחת פלאנק שפעולה באה במנות קצובות. (יובל נאמן ,51). הגישות של הייזנברג ושרדינגר שקולות זו לזו מבחינה מתמטית אך מכילות מגרעת : הן לא מתחשבות בתורת היחסות הפרטית  ומתייחסות אל המרחב ואל הזמן כגדלים מחלטים . כל עוד אנו עוסקים בחלקיקים הנעים במהירויות נמוכות מגרעת זו אינה חשובה כל כך, על פי היחסות הפרטית מדידותיו של צופה הנע במהירות נמוכה אינן שונות משמעותית מאלו של צופה נח. אולם כשמנסים לתאר את תנועותיהם של חלקיקים הנעים במהירויות קרובות למהירות האור. יש צורך לקחת בחשבון את הסרגלים המתכווצים ושעונים מאטים של תורת היחסות. איינשטיין (רעיונות ודעות ,167) חשב שבחיפושיו אחר התיאוריה חייב הפיזיקאי העיוני במידה גוברת והולכת להיות מונחה ע"י שיקולים פורמליים מתמטיים טהורים , משום שניסיונו הפיזיקלי של עורך הניסויים אינו יכול להעלות אותו למחוזות ההפשטה הגבוהה ביותר.נטען כי הצלחת שיטתו של הייזנברג מצביעה על אופן תיאור של הטבע  שהוא אלגברי טהור, כלומר על סילוקן של פונקציות רציפות מן הפיזיקה (כמו למשל רצף מרחב  זמן שעומד בסתירה לטבע לנוכח המבנה המולקולרי שביסוד כל הדברים המתרחשים בקנה מידה קטן) אם כך יהיה עלינו לוותר עקרונית גם על הרצף מרחב-זמן (איינשטיין,193).

ההקשר האפלטוני פיתגוראי:

מבחינת  היחס למתמטיקה סבור וייטהד שזיקתו של אפלטון למתמטיקה  ( שהשפיע על גיבוש תורת האידאות) וההדגשה של היחסים המתמטיים ( א"צ בראון,223) בהסבר העולם באו לאפלטון מן הירושה האינטלקטואלית  של האסכולה הפיתגוראית. ויטהד סבור שמרכז הכובד של ירושה זו נעוץ בעובדה שפיתגורס היה הראשון שתפס את העיקרון המונח ביסודה של החשיבה המתמטית  האומר כי" מתוך מערכת נבחרת של תנאים כלליים  המודגמים בתוך הזדמנות מסוימת ניתן להסיק…ללא תיווך נוסף של הניסיון דפוס הגורר אחריו ריבוי אינסופי של תנאים כלליים אחרים המודגמים אף הם בתוך אותה הזדמנות…" על ידי כך גילה הוא את חשיבותה של הכלליות בתוך השכילה ואת עצמתו של המספר כמכשיר לניסוח כל הצגה שהיא של התנאים הכלולים בסדר של הטבע.

פיתגורס אם כן מכוון לשאלה " מה מעמדם של ישויות מתמטיות כגון מספרים בעולם הדברים? עולם האידיאות של אפלטון הוא צורה מעודנת ומתוקנת של המשנה הפיתגוראית  שמספר מונח ביסודו של העולם הממשי. אליבא דה וויטהד  אפלטון מצוי ברוח פיתגוראית  אך שניים אלה רחוקים מאריסטו לגבי הפיזיקה המודרנית. השוני כאן הוא מתודי אך בעל תוצאות  מרחיקות לכת לגבי הגישה הכללית בהסבר  העולם. הכלל המתודי של השניים היה"מדוד" ואילו זה של אריסטו היה" מיין". כלל המדידה מתבסס  על כלל עמוק יותר של האפשרות לבטא הבדלי איכויות במונחים של כמות מספרית ואילו המיון אינו בא אלא להבליט את הבדלי האיכויות שאין להעמידם על שום דבר אחר. וייטהד סבור שמימד המיון העוגן על הלוגיקה של אריסטו ומשום כך (שם) היא עיכבה את התקדמות של מדע הפיסיקה בימי הביניים. אילו היו מודדים במקום למיין כמה היו יכולים ללמוד! מיון הוא מחצית הדרך בין הקונקרטיות הבלתי אמצעית של הדבר האינדיבידואלי לבין מפשטותם הגמורה של המושגים המתמטיים. וייטהד מדגיש רעיון יסודי ועמוק יותר אם נשקיף על המתמטיקה בנקודת ראות רחבה יותר , לא רק מזווית של כמויות ומספרים אלא מחקר של דפוסי קשרים ויחסים במופשט מן המתייחסים (שם,224) המיוחדים ומאופני הקשר ביניהם. מבחינה זו מבוסס מושא חקירתה של המתמטיקה על עיקרון מטפיסי  האומר שהיחס והקשר הם ממהותה של כוליות הדברים והם גם המפתח האמיתי להבנת כוליות זו, "היחסות חודרת את היקום ללא שיור". בטימאיוס (שם,227). הרוח המספרית האפלטונית פיתגוראית מציבה סדר הכרתי : איננו יכולים לחשוב את הגוף הפיזיקלי ללא הגוף הגיאומטרי , לא את זה האחרון ללא השטח , ושוב לא את זה ללא הקו וללא הנקודה. הקו הוא תנאי לשטח הנקודה היא תנאי לקו זוהי קדימות  שעוגנת בחשבון ראשון על מספרים. ובכך ניתן לראות את המתמטיקה כמחברת בין המימד ההכרתי שכלי רציונאלי לחושי ניסיוני. הסופר ברגע הספירה מחבר בין התודעה לעולם הגשמי ולאובייקטים החומריים הנספרים בהתפרטותם. במובן לוגי אונטולוגי אם קו קודם לשטח ושטח קודם לגוף אותו קו חשיבה מוביל מן הגוף המתמטי אל הגוף הפיסיקלי. במילים אחרות המספר והמתמטיקה קודמים . זהו  מעבר אולי לא פשוט מן הלא מטריאלי אל המטריאלי (המספר הוא אידיאלי אינו מצוי בחלל ובזמן הוא יציר תודעתי מה שאולי הופך את הסופר לאידיאליסט ומטריאליסט יחדיו) מן המתמטיקה אל הפיסיקה בנוסח פיתגוראי. מצב  של תנאי לוגי אונטולוגי של העולם בו הגאומטריה היא תנאי לפיסיקה אך היא שעונה על מספרים: על פי אפלטון 2 הוא צורת הקו הישר היות שזה האחרון מגדר הגדרה שלמה על ידי שתי נקודות במרחב.כך גם 3 הוא צורת המישור ו-4 צורת הגוף הגאומטרי.( שקולניקוב 201)

המספר מתייחס לשתי קטגוריות הוא גם יחס וגם סובסטנצה. ( היחס הוא של סיבתיות טהורה מעצם הספירה 1,2,3…)

אם אנו מקבלים את הרוח האפלטונית פיתגוראית שמדגיש הייזנברג במאמר , את הדגש המתמטי הטמון בעומק הפיזיקליזם  נוצר כיוון מחשבתי שמגביר את חופש הבחירה ( זאת בהנחה כאמור שגם התודעה מצייתת לפיזיקליזם , ובלא להתייחס כרגע לשאלת גוף ונפש והאם המוח הוא אמנם תנאי הכרחי לתודעה אך אולי לא תנאי מספיק…)היות שאם קיים חופש בתמונה הפיזיקליסטית שמתירה מצב שבו מהווה נתון אחד יכולים להתפתח כמה עתידים שונים , כלומר שההווה אינו קובע חד ערכית את העתיד. חופש כזה ישנו בתורת הקוונטים שהיא בעצם המרווח האונטולוגי היחיד שידוע לנו בפיזיקה. ממצב נתון אחד יכולים להתפתח אפשרויות שונות ובכך העתיד אינו נקבע ע"י ההווה. בספרו The emperor`s new mind סבור רוגר פנרוז שתורת הקוונטים מאפשרת לנו להחזיק באמונות בדבר קיומם של תודעה וחופש רצון גם בתוך התמונה הפיזיקליסטית.

האתר האסטרולוגי-נומרלוגי שלי החדש באנגלית : http://www.astrowiz.me

מראה מקומות והערות:

ורנר הייזנברג , הרקע הפילוסופי של הפיזיקה המודרנית . עיון רבעון פילוסופי ,עמ 1 תשל"ה.

1. יואב בן דב ,תורת הקוונטים פרק-6 עמ 61-64 .מה דע\דביר ת"א 1997
2. אלברט איינשטיין, רעיונות ודעות (1953) עמ 164 מאגנס ירושליים. בתרגום זינגר\אונא.
3. בן דב עמ 61.
4. יואב בן דב , פיזיקה תורות ומושגים. אוניברסיטה משודרת  משהב"ט, ת"א 1991.
5. יובל נאמן ,הפיזיקה של המאה ה-21 אוניברסיטה משודרת משהב"ט  ת"א 1984.
6. א"צ בראון,אפלטון בעיני וייטהד עיון רבעון פילוסופי עמ 222-233.
7. שמואל שקולניקוב .על משמעותה האפיסטמולוגית של תורת המספרים האידיאלים לאפלטון.עיון רבעון פילוסופי כרך כ.

ביבליוגרפיה נוספת:

מיכאל אברהם , מדעי החופש האם יש לנו בחירה חופשית ? פיזיקה פילוסופיה ומדעי המוח. ידיעות אחרונות ת"א 2013.

ארנון עברון ,משפטי גדל ובעיית היסודות של המתמטיקה  פלטוניזם במתמטיקה פרק ט, אוניברסיטה משודרת ת"א משהב"ט 1998.

משה ימר , איינשטיין והדת פיזיקה ותיאולוגיה , ידיעות ספרים ת"א 1999.

מריו ליביו, האם אלוהים הוא מתמטיקאי? אריה ניר ת"א 2010.